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Métodos Numéricos para Engenharia

A engenharia civil lida cotidianamente com problemas matemáticos de grande complexidade, como problemas de deformações em estruturas, transmissão de calor, fluxo de água em solos, entre outros. Para a maioria desses problemas não há uma solução analítica definida, sendo necessária a utilização de aproximações para resolvê-los.


Durante a história, engenheiros e matemáticos desenvolveram vários métodos para encontrar essas soluções aproximadas. Os primeiros métodos eram fundamentados em hipóteses e simplificações que facilitavam os cálculos, mas muitas vezes descaracterizavam o problema e tornavam a solução imprecisa. Mais recentemente, com a invenção dos computadores, o tempo e o custo para a realização de uma grande quantidade de operações foi drasticamente reduzido, o que fez com que os métodos numéricos se tornassem cada vez mais utilizados e mais populares, representando uma alternativa rápida, barata e precisa para os métodos anteriormente desenvolvidos.


Os métodos numéricos consistem na aplicação de algoritmos que utilizam operações aritméticas menos complexas para a solução de problemas mais complexos. O algoritmo consiste em uma sequência finita de instruções ou regras bem definidas e não ambíguas que por meio de uma sucessão de etapas conseguem aproximar o resultado real. Nesse contexto é importante citar também a análise numérica, que é a área da matemática que tem o objetivo de desenvolver e estudar algoritmos, encontrando novas soluções para problemas ou tornando mais eficientes as soluções que já existem.


A seguir serão apresentados os Métodos Numéricos mais utilizados na engenharia civil nos dias de hoje.


MetodoElementosFinito

Fonte: Urbana; University of Cincinnati



Método dos elementos finitos (FEM)


O método dos elementos finitos (FEM – Finite Element Method) é um método numérico utilizado para solucionar problemas de física, matemática e engenharia. Dentre suas principais aplicações estão a analise estrutural: determinação de deslocamentos, deformações e tensões; analises de materiais: resistência, rigidez e fadiga; e, além disso, analises térmicas, acústicas, dinâmicas, eletromagnéticas e de mecânica dos fluidos. O método é adequado para tratar de problemas com geometrias e carregamentos complexos.


Nesse método, o objeto de estudo, também chamado de domínio, deve ser um meio que pode ser considerado contínuo. O domínio é dividido em um número finito de elementos com formato definido. Esse formato pode ser triangular, quadrilateral, entre outros, a depender do tipo e da geometria do problema. Os elementos são conectados por pontos comuns denominados “nós”, em que as variáveis do problema são calculadas. Ao conjunto de elementos e nós se dá o nome de malha. A divisão da geometria em uma malha permite resolver um problema complexo subdividindo-o em problemas mais simples que o computador resolve de forma eficiente. Em função dessa divisão, as equações diferenciais que regem o problema não são resolvidas de forma analítica, mas sim de forma aproximada. Por consequência dessa aproximação é gerado um erro e ele é minimizado a medida que o número de elementos e de nós aumenta.


O método dos elementos finitos é relativamente antigo, datando do fim da segunda guerra mundial, e já é bem consolidado no mercado. Os softwares que utilizam MEF vem evoluindo buscando maneiras mais eficientes para a montagem da malha, além do desenvolvimento de interfaces mais amigáveis ao usuário.


DEM

Fonte: Urbana; Univerity of Cincinnati


Elementos Finitos

Fonte: Recoil Engineering


Método dos elementos discretos (DEM)


O método dos elementos discretos (DEM – Discrete Element Method) é um método utilizado para computar o movimento de muitas partículas pequenas. Possui aplicações nas indústrias da mineração, farmacêutica e na engenharia geotécnica. O material consiste em partículas separadas, de diferentes formatos, que interagem entre si, como solo, areia, grãos e rochas. Uma simulação de DEM é iniciada com a geração de um modelo que apresenta orientações espaciais e velocidades iniciais para todas as partículas. A partir deste ponto, utilizando a mecânica newtoniana e as leis de contato, são calculadas as forças que atuam nas partículas. A cada passo de tempo são calculadas as novas forças e posições das partículas, gerando assim a simulação. Uma das principais vantagens do DEM é que ele pode simular uma grande variedade de situações, já que o modelo de cálculo é totalmente baseado na mecânica clássica. A principal desvantagem do método é que o número máximo de partículas e a duração da simulação são limitados pelo poder computacional, ou seja, à medida que o número de partículas aumenta o custo computacional aumenta consideravelmente.



Método dos elementos discretos

Fonte: Laboratório de Combinatória e Computação Científica


Método dos volumes finitos (FVM)


O método dos volumes finitos (FVM – Finite Volume Method) é um método desenvolvido na década de 70 muito utilizado em problemas de mecânica dos fluidos. É bastante eficaz na solução de problemas de fluxos multifásicos, reativos e turbulentos. No método dos volumes finitos, assim como no método dos elementos finitos, há a discretização do domínio em pequenos volumes, denominados volumes de controle, os volumes são conectados por nós formando uma malha. As variáveis do problema são calculadas nos nós e armazenadas no interior do elemento. O método dos volumes finitos é baseado na ideia da observação de Euler e nos princípios de conservação de massa, de quantidade de movimento e de energia.


A ideia da observação de Euler consiste na observação de uma determinada região do espaço onde, a cada instante, são calculadas as grandezas características das partículas que passam por essa região. A partir dessa análise é possível obter informações como pressão, temperatura e velocidade.


FVM

Fonte: http://www.noticiasdotrecho.com.br/2015/07/curso-de-simulacao-fluidodinamica.html



Método dos elementos de contorno (BEM)


O método dos elementos de contorno (BEM – Boundary Element Method) é um método computacional para a solução de sistemas de equações diferenciais. É aplicado em áreas como mecânica dos fluidos, acústica, eletromagnetismo, entre outros. Nesse método o contorno do domínio é discretizado em elementos. Assim que as variáveis são calculadas no contorno são utilizadas equações para calcular as variáveis no interior do domínio envolvido pelo contorno.


Método dos elementos de contorno

Fonte: http://appliedmechanicsreviews.asmedigitalcollection.asme.org/article.aspx?articleid=1678921

Referências

https://www.esss.co/blog/metodos-numericos-para-simulacao-na-engenharia/

https://www.esss.co/blog/metodo-dos-elementos-finitos-o-que-e/

https://pt.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lise_num%C3%A9rica

https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo

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