Métodos Numéricos para Engenharia

A engenharia civil lida cotidianamente com problemas matemáticos de grande complexidade, como problemas de deformações em estruturas, transmissão de calor, fluxo de água em solos, entre outros. Para a maioria desses problemas não há uma solução analítica definida, sendo necessária a utilização de aproximações para resolvê-los.

Durante a história, engenheiros e matemáticos desenvolveram vários métodos para encontrar essas soluções aproximadas. Os primeiros métodos eram fundamentados em hipóteses e simplificações que facilitavam os cálculos, mas muitas vezes descaracterizavam o problema e tornavam a solução imprecisa. Mais recentemente, com a invenção dos computadores, o tempo e o custo para a realização de uma grande quantidade de operações foi drasticamente reduzido, o que fez com que os métodos numéricos se tornassem cada vez mais utilizados e mais populares, representando uma alternativa rápida, barata e precisa para os métodos anteriormente desenvolvidos.

Os métodos numéricos consistem na aplicação de algoritmos que utilizam operações aritméticas menos complexas para a solução de problemas mais complexos. O algoritmo consiste em uma sequência finita de instruções ou regras bem definidas e não ambíguas que por meio de uma sucessão de etapas conseguem aproximar o resultado real. Nesse contexto é importante citar também a análise numérica, que é a área da matemática que tem o objetivo de desenvolver e estudar algoritmos, encontrando novas soluções para problemas ou tornando mais eficientes as soluções que já existem.

A seguir serão apresentados os Métodos Numéricos mais utilizados na engenharia civil nos dias de hoje.

Fonte: Urbana; University of Cincinnati

Método dos elementos finitos (FEM)

O método dos elementos finitos (FEM – Finite Element Method) é um método numérico utilizado para solucionar problemas de física, matemática e engenharia. Dentre suas principais aplicações estão a analise estrutural: determinação de deslocamentos, deformações e tensões; analises de materiais: resistência, rigidez e fadiga; e, além disso, analises térmicas, acústicas, dinâmicas, eletromagnéticas e de mecânica dos fluidos. O método é adequado para tratar de problemas com geometrias e carregamentos complexos.

Nesse método, o objeto de estudo, também chamado de domínio, deve ser um meio que pode ser considerado contínuo. O domínio é dividido em um número finito de elementos com formato definido. Esse formato pode ser triangular, quadrilateral, entre outros, a depender do tipo e da geometria do problema. Os elementos são conectados por pontos comuns denominados “nós”, em que as variáveis do problema são calculadas. Ao conjunto de elementos e nós se dá o nome de malha. A divisão da geometria em uma malha permite resolver um problema complexo subdividindo-o em problemas mais simples que o computador resolve de forma eficiente. Em função dessa divisão, as equações diferenciais que regem o problema não são resolvidas de forma analítica, mas sim de forma aproximada. Por consequência dessa aproximação é gerado um erro e ele é minimizado a medida que o número de elementos e de nós aumenta.

O método dos elementos finitos é relativamente antigo, datando do fim da segunda guerra mundial, e já é bem consolidado no mercado. Os softwares que utilizam MEF vem evoluindo buscando maneiras mais eficientes para a montagem da malha, além do desenvolvimento de interfaces mais amigáveis ao usuário.

Fonte: Urbana; Univerity of Cincinnati

Fonte: Recoil Engineering

Método dos elementos discretos (DEM)

O método dos elementos discretos (DEM – Discrete Element Method) é um método utilizado para computar o movimento de muitas partículas pequenas. Possui aplicações nas indústrias da mineração, farmacêutica e na engenharia geotécnica. O material consiste em partículas separadas, de diferentes formatos, que interagem entre si, como solo, areia, grãos e rochas. Uma simulação de DEM é iniciada com a geração de um modelo que apresenta orientações espaciais e velocidades iniciais para todas as partículas. A partir deste ponto, utilizando a mecânica newtoniana e as leis de contato, são calculadas as forças que atuam nas partículas. A cada passo de tempo são calculadas as novas forças e posições das partículas, gerando assim a simulação. Uma das principais vantagens do DEM é que ele pode simular uma grande variedade de situações, já que o modelo de cálculo é totalmente baseado na mecânica clássica. A principal desvantagem do método é que o número máximo de partículas e a duração da simulação são limitados pelo poder computacional, ou seja, à medida que o número de partículas aumenta o custo computacional aumenta consideravelmente.

Fonte: Laboratório de Combinatória e Computação Científica

Método dos volumes finitos (FVM)

O método dos volumes finitos (FVM – Finite Volume Method) é um método desenvolvido na década de 70 muito utilizado em problemas de mecânica dos fluidos. É bastante eficaz na solução de problemas de fluxos multifásicos, reativos e turbulentos. No método dos volumes finitos, assim como no método dos elementos finitos, há a discretização do domínio em pequenos volumes, denominados volumes de controle, os volumes são conectados por nós formando uma malha. As variáveis do problema são calculadas nos nós e armazenadas no interior do elemento. O método dos volumes finitos é baseado na ideia da observação de Euler e nos princípios de conservação de massa, de quantidade de movimento e de energia.

A ideia da observação de Euler consiste na observação de uma determinada região do espaço onde, a cada instante, são calculadas as grandezas características das partículas que passam por essa região. A partir dessa análise é possível obter informações como pressão, temperatura e velocidade.

Fonte: http://www.noticiasdotrecho.com.br/2015/07/curso-de-simulacao-fluidodinamica.html

Método dos elementos de contorno (BEM)

O método dos elementos de contorno (BEM – Boundary Element Method) é um método computacional para a solução de sistemas de equações diferenciais. É aplicado em áreas como mecânica dos fluidos, acústica, eletromagnetismo, entre outros. Nesse método o contorno do domínio é discretizado em elementos. Assim que as variáveis são calculadas no contorno são utilizadas equações para calcular as variáveis no interior do domínio envolvido pelo contorno.

Fonte: http://appliedmechanicsreviews.asmedigitalcollection.asme.org/article.aspx?articleid=1678921

Referências

https://www.esss.co/blog/metodos-numericos-para-simulacao-na-engenharia/

https://www.esss.co/blog/metodo-dos-elementos-finitos-o-que-e/

https://pt.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lise_num%C3%A9rica

https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo